3.线性时不变系统(LTI)的Z域DTFT域分析、相位响应b(Ω)以及群延迟

  通过之前章节所述的零极点图，我们就能判断一个系统的滤波类型（高通低通带通带阻）。之前提到了由于DTFT域与Z域单位圆的对应关系，DTFT谱具有2\pi的周期性。而对于一个实系统，由于没虚部，在z域虚轴上半边与下半边是没有区别的，因此H(z)的值在0到180°与180°到360°的值是一样的。DTFT谱就具有了\pi的周期性。如图所示的iir系统与fir系统的DTFT域，我们大家可以看到谱线对称。

  \pi区间内的DTFT谱线就能判断系统的滤波类型。靠近0的是低频部分，靠近\pi的是高频部分（图中是两个低通系统）。由于极点会对于附近单位圆上的H(e^{j\Omega})值有贡献，因此在IIR系统中，一般是通过极点的分布判断滤波类型，如果极点集中分布在单位圆的左边（低频），是低通，反之在右边则是高通。在FIR系统中，由于所有极点都位于圆心，对于单位圆上各点贡献是一样的，我们就需要观察单位圆附近零点的位置。如果单位圆右边密集着分布着零点，那么高频部分的H(e^{j\Omega})值基本为零，系统就是一个低通系统。

  \Omega从0到2\pi的变化，相位响应的值是奇点与该时刻\Omega角度在单位圆上点的连线、与实轴正方向的夹角。如图：

  \Omega时刻从原点指向单位圆的矢量，b为从原点指向极点的矢量，c为两点的连线，该线与实轴正方向夹角\varphi就是这一个极点在该\Omega时的相位响应。由于矢量c可表示为矢量a减矢量b，因此相位响应可用公式表示为：b_{\infty,1}(\Omega)=-arg(e^{j\Omega}-z_{\infty,1})

  \varphi角的点，再平滑连接得到相位响应b(Ω)在0到2\pi区间的曲线。如图：

  \pi的周期性。这是因为奇点不在单位圆上，连线的角度变化是连续。但是如果奇点在单位圆上，相位响应就会在对应的角度处有一个向上或向下的\pi的跳跃（向上向下无所谓是因为角度每过2\pi会回到原点，因此向下 的\pi再向上加2\pi相当于向上\pi）。原因是当单位圆上选取的点里奇点无限近时，两点连线是该处的切线，这个切线再这一刻是向下的。然后下一刻，选取的点超过了奇点，这个方向立刻变成向上，经过了180°，如图：

  信号处理中，群延迟是信号通过线性时不变(LTI) 系统时信号的各种频率分量所经历的延迟时间。是指描述相位响应变化随频率变化的快慢程度的量。因此群延迟表示为\tau_{gp}(\Omega)=\frac{d b(\Omega)}{d \Omega}。在有一些时候，群延迟也可以之间在时域响应的图中看出来，也就是在输入了冲激后，最慢慢的出现响应的幅度的时间点。另外，LTI系统的阶数等于：(N-1)/2，其中N是系统的长度，N-1是系统阶数。

  上面说到了零点全部位于单位圆外面的系统是最大相位系统。相应地，零点全部位于单位圆里面的系统就是最小相位系统。最小相位系统具有频率上最小的相位增量，最小的群延迟，也就是再时域上最短的响应时间。全通系统与最小相位系统通常用来进行频率响应的补偿。一个因果稳定的 LTI 系统的任何传递函数都能分解为一个稳定的全通滤波器和一个最小相位系统滤波器。